有10個數據其中6個數據的平均數是1變異數是9剩下4個數據的平均數是6變異數是15則全體之平均數為

(1)設數據X=x1,x2,....,x10,已知(1/10)∑(k=1~10)(x-xk)^2=x^2-40x+500,求X的平均數u及標準差a

[(x-x1)^2+(x-x2)^2+…. …+(x-x10)^2]

=10x^2-2(x1+x2+….+x10)x+(x1^2+x2^2+…..+x10^2)

[2(x1+x2+….+x10)]/10=40

u=( x1+x2+….+x10)/10=20

(x1^2+x2^2+…..+x10^2)/10=500

a=√[(x1^2+x2^2+…..+x10^2)/10 – u^2]

=√(500 – 400)=10

(2)設數據x1,x2,x3,x4,其平方合為230,兩兩之積的和為335,求此數據的(i)算術平均數(ii)變異數

x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=230

x1x2+x1x3+…….….x3x4=335

(x1+x2+x3+x4)^2=230+2*335=900

x1+x2+x3+x4=30 or -30

算術平均數a=±15/2

離差和平方

x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 – 4*a^2=230-4*(15/2)^2=5

變異數=5/4

標準差S=(√5)/2

(1)有10個人在某次考試中,平均分數56分,標準差4,若此10人中8人之分數如下:50,52,53,54,56,57,60,61,求其餘兩個人之得分

56*10-(50+52+53+54+56+57+60+61)=117 <== 兩人總分

令兩人分數 x , 117-x

(50-56)^2+(52-56)^2~~~~+(x-56)^2+(117-x-56)^2

=36+16+9+4+0+1+16+25+(x-56)^2+(x-61)^2

=107+2x^2-234x+6857=2x^2-234x +6964

(2x^2-234x +6964)/10=4^2

x^2-117x +3402=0 ,x=63 or 54

另外兩人的分數 63 和 54

(2)有一筆統計資料,共有11個數據如下(不一定由小到大):2,4,4,5,5,6,7,8,11,x和y,已知這些數據的算術平均數和中位數都是6,且x＜y。

(1)x+y=14(2)y<9(3)y>8(4)標準差至少是3

1) x+y=6*11- (2+4+4+5+5+6+7+8+11)=14

2,3)中位數為第六個 ==> x ≥6

y＞x ==> 14-x＞x, x＜7 因此 6≤x＜7

y=14-x, 7＜y≤8

2^2+4^2+4^2+5^2+5^2+6^2+7^2+8^2+11^2+x^2+y^2

=356+x^2+(14-x)^2=2x^2-28x+552

離差平方和=

(2x^2-28x+552)-11*6^2=2x^2-28x+156

=2(x^2-14x+49)+ 58=2(x-7)^2+ 58

當 x = 7 最小 (但x≠7)

因此 58＜離差平方和≤60

標準差=√(離差平方和/11)

√(58/11)＜離差平方和≤√(60/11)

2.29＜標準差≤2.33

(1)求得21個數值之平均數為55,標準差為3之後,發現其中一數"60",需剔除,如不檢視原始資料,是設法算出剔除"60"一數後,所餘20個數值之算術平均數及標準差

平均數=(21*55-60)/20=54.75

原本標準差=3=√(離差平方和/21)

離差平方和=3^2*21=189=(x1^2+x2^2+……+x20^2+60^2)-21*55^2

(x1^2+x2^2+……+x20^2)=189+21*55^2-60^2=60114

新離差平方和= 60114 -20*54.75^2=162.75

新標準差=√(162.75/20)= √8.1375

(2)某班有40位同學,上學期當義工的時數經計算後算術平均數為70小時,標準差為x小時,後來發現登記有誤:凱美是80小時卻登記為50小時,強尼士70小時卻登記為100小時,若更正後的標準差為y小時,求x^2-y^2=?

正確平均數=(70*40+80-50+70-100)/40=70

x^2=(a1^2+a2^2+…..+ a38^2+50^2+100^2 – 40*70^2)/40

y^2=(a1^2+a2^2+…..+ a38^2+80^2+70^2 – 40*70^2)/40

x^2-y^2=(50^2+100^2 – 80^2–70^2)/40=30

4.(1)有10個數值,其中6個數值之平均數是3,變異數9,剩下之4個數之平均數為8,變異數14,試求(i)整體之平均數(ii)全體之變異數

平均=(6*3+4*8)/10=5

變異數A=9 , 離均平方和A=9*6=54

(x1^2+x2^2+…x^6^2 – 6*3^2)=54

變異數B=14 , 離均平方和B=14*4=56

(x7^2+x8^2+x^9^2 +x10^2-4*8^2)=56

x1^2+x2^2+…x^6^2= 6*3^2+54=108

x7^2+x8^2+x^9^2 +x10^2=56+4*8^2=312

x1^2+x2^2+…x^10^2=108+312=420

離均平方和=x1^2+x2^2+…x^10^2-10*5^2=420-250=170

變異數 = 170/10=17

(2)某班學生50人,分成A,B兩組,A組20人平均成績Ma=78分,標準差Sa=8;B組30人平均成績Mb=72分,標準差Sb=10,試求(i)全班50人之平均成績(ii)全班學生之標準差

(1)總平均(78*20+72*30)/50=74.4

(x1^2+~~x20^2-20*78^2)/20=8^2=64

(x21^2+~~x50^2-30*72^2)/30=10^2=100

x1^2+~~x20^2=64*20+20*78^2=122960

x21^2+~~x50^2=100*30+30*72^2=158520

x1^2+~~x50^2=122960+158520=281480

(2)標準差=√[(281480-50*74.4^2)/50]= √94.24 ≈9.7

(3)某係學生100人,分成甲,乙,丙三組上課,甲組學生40人,微積分平均80分,標準差8分;乙組學生30人,平均75分,標準差6分;丙組學生30人,平均成績85分,標準差10分,求該系學生之平均成績及標準差

平均=(80*40+75*30+85*30)/100=80

甲組平方和=40*8^2+40*80^2=258560

乙組平方和=30*6^2+30*75^2=169830

丙組平方和=30*10^2+30*85^2=219750

全班平方和=258560+169830+219750=648140

變異數=(648140-100*80^2)/100=81.4

標準差=√81.4 ≈9.02

(4)某校第一次模擬考,自然組數學科第二類組學生300人之平均成績為50分,中位數為53,標準差為10分;第三類組學生200人之平均成績為60分,中位數58分,標準差12分,張老師想經這兩組學生共500人之成績合併統計,則根據上述的統計量,下列哪些敘述是正確的?(A)合併之平均成績高於60分(B)合併之平均成績介於50分到60分之間(C)合併之中位數低於53分(D)合併之中位數介於53分到58分之間(E)合併之標準差低於10分