等差級數總和公式

等差数列，又名算术数列（英語：Arithmetic sequence[註 1]），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（common difference）。

例如数列：

就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等 。

性質[编辑]

如果一个等差数列的首项記作 a，公差記作 d，那么该等差数列第 n 项 an 的一般項为：

換句話說，任意一個等差数列 {an} 都可以寫成

在一個等差數列中，給定任意兩相連項 an+1 和 an ，可知公差

給定任意兩項 am 和 an ，則有公差

此外，在一個等差数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說，a1 + a3 = 2a2。

更一般地說，有：

證明如下：

證畢。

從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均：

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 m, n, p, q，使得 ，那么则有：

證明如下：

由此可將上面的性質一般化成：

其中 k 是一個小於 n 的整數。

給定一個等差數列 ，則有：

從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成

形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 d = q，首項 a = p + q。

等差數列和[编辑]

一個等差數列的首 n 項之和，稱為等差数列和（sum of arithmetic sequence）或算術級數（arithmetic series），記作 Sn。

舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。

等差數列求和的公式如下：

等差数列和在中文教科書中常表达为:

公式證明如下：

将等差數列和写作以下两种形式：

将两公式相加来消掉公差 d，可得

整理可得第一種形式。

代入 ，可得第二種及第三種形式。

從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成

形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差 d = 2q，首項 a = p + q。

等差数列积[编辑]

一個等差數列的首 n 項之積，稱為等差数列積（product of arithmetic sequence），記作 Pn。

舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的積是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。

等差数列積的公式较為复杂，須以Γ函數表示：

證明如下：

這裡的 为 x 的 n 次上升阶乘幂，例子如 。

使用上面的例子，對於數列 {1, 3, 5, 7} ：

結果相等。

参见[编辑]

• 序列
• 數列
• 級數
• 算術級數
• 算術平均
• 等比數列
• 等諧數列

注释[编辑]

参考文献[编辑]

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

查 论 编 序列與級數
算術序列	发散级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数
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