阿 基 米 德 幹 了 什麼 好事

提到阿基米德，你也許聽過、甚至能說出不少生動的傳說故事，譬如他在浴缸裡洗澡的時候發現浮力原理，然後興奮的裸奔回家，還一路大喊：「我找到了！」又譬如他用凹面鏡讓太陽光聚焦、焚毀那些來攻打他的國家的羅馬軍隊；還有，「給我一個支點，我就能舉起整個地球」這句琅琅上口的名言，也傳說是出自阿基米德之口。

然而，很少人能確切道出阿基米德的種種成就。這本書的目的只有一個：讓廣大讀者清楚瞭解阿基米德在幾何學、力學、液體靜力學的各項發現，包括槓桿理論、重心理論、浮體研究、球的體積與表面積等。

作者簡介：斯坦(Sherman K. Stein) 著

《幹嘛學數學？》、《數學是啥玩意？I、II、III》作者。哥倫比亞大學博士，曾任加州大學戴維斯分校數學教授，並獲頒傑出教學獎。

譯者簡介：陳可崗 譯

台大物理系畢業，美國普度大學物理博士，譯有《十月的天空》、《觀念物理IV、V》、《牛頓(上)、(下)》等。

誌 謝
引 言 
第1章 傳奇的一生？
第2章 槓桿定律
第3章 重心
第4章 重要手稿現身
第5章 力學方法
第6章 兩個級數
第7章 拋物線
第8章 浮體
第9章 螺線
第10章 球體
第11章 π的估計值

附錄A 仿射映射與拋物線
附錄B 特例：浮起的拋物面
附錄C 記數法
​附錄D 延伸閱讀

斯坦 

我們常聽說阿基米德是自古以來三大數學家之一，可是當有人問到：「他做了些什麼事？」這時大多數人就不甚了了，回答得不那麼確定：「他是不是求出了球體的表面積？」或者說：「我猜他發現了π吧。」又或者：「是不是從浴缸裡裸奔出來，大叫『我找到了！我找到了！』？」

過去我也一樣，未曾注意這個問題，一直到我講授微積分史的時候，才注意到阿基米德的許多成就。每次我重開這門課，用來討論他的時間就愈來愈多，到了第五次開課時，總共二十堂課中竟用了七堂，來敘述阿基米德的研究，雖然這樣不幸導致我討論牛頓及萊布尼茲的時間過於短促。

阿基米德所有留傳至今的著作，都有希斯（T. L. Heath）和狄克思特修斯（E. J. Dijksterhuis）二人所譯的英文譯本，但是他們的譯文並不易懂。希斯的譯本太過遵循阿基米德的推理了，使讀者幾乎必須如古代希臘數學家那般思考才行；狄克思特修斯的版本比較新，但採用一種特別、甚至於陌生的記號。反正兩者皆難以讓人親近，讀者恐怕都要變成正格的歷史學家，才讀得懂。

我寫作這本小冊子，目的是要讓數學界的大忙人，包括學過拋物線方程式的人在內，有機會接觸阿基米德在數學方面幾個（我所認為）最重要的發現。我希望高中及大學教師讀過本書之後，可以把阿基米德邀請到他們的課堂裡，使講課內容更加豐富，並能擴大學生的歷史觀。至於書中的習題，只是給比較欠缺教學經驗的老師做為導引之用，若是略過不做，也不至於影響閱讀連貫性。

阿基米德懂得的圓錐曲線幾何，遠比我們今天所學的要多得多，而他也用到了這些幾何，因此就引發一點講解上的疑問：我應該在書中涵蓋多少這方面的幾何學？因為其中有些是採自歐幾里得一部已失傳的著作，如果要完全涵蓋，這本書的篇幅將比我原先設想的增加出許多，而在一大堆幾何定理中，阿基米德的重大發現勢必無法凸顯。

實際上，我們所需的全部幾何學，都能夠藉由平面上的仿射映射而獲得，我於附錄A中會介紹這些映射的理論，並將它們應用到拋物線上。誠然，阿基米德並不知道有仿射映射這東西，但是有一個現代形式的證明總比沒有好；此外，平面映射在學校教材中時常出現，所以在這裡舉一些應用上的例子來展示它們的能力，也是合理的。

每當討論一個題材時，我都會問問自己：「這個論述的核心是什麼樣的數學？是哪一種永恆的寶石，能夠超越一代又一代的噱頭與時尚？」在本書中，我所要呈現的正是這些核心數學，我的寫法是要讓最忙碌的讀者都能很容易的瞭解、欣賞其中的推演。我無意於逐字逐句的引用阿基米德的論點，或重複他的解說。（想要回溯原著的讀者，可以參閱希斯和狄克思特修斯的譯本，但是要記得，那些書也是以更早的譯文為基礎，經過若干世紀之後，可能已經由一代代的編輯者滲入許多自己的見解了。）

我不試圖涵蓋阿基米德曾探討的每一個題目，例如，我省略了他僅用1063顆罌粟花籽（後來用沙粒）就可以「填滿全宇宙」的計算過程。（他說過：「葛蘭國王，有些人認為沙粒的數目是無窮的。」）但是我的確將他大部分的研究都包括進來了，足夠證明他乃是實至名歸。

後面各章所敘述的精采成就中，最令我印象深刻的是《論浮體的平衡》，阿基米德在這部作品中發展出浮體在水中的穩定性的理論，是造船技術的基礎。（現代造船工程課本的開頭幾章，就有幾個類似阿基米德二千二百多年前所繪製的圖。）我希望讀者都能和我一樣，對阿基米德竟能在二十二個世紀以前、用十分有限的工具做出那麼多的成果，感到震撼與不可思議。

(本文為作者序, 斯坦為哥倫比亞大學博士) 

斯坦 作者

加州大學戴維斯分校數學教授，該校傑出教學獎得主之一，並曾獲得美國數學學會頒發的福特獎（Lester R. Ford Prize），以表彰他在闡揚數學知識方面的貢獻；此外也因為《Algebra and Tiling》這本書，獲頒貝肯巴赫書獎（Beckenbach Book Prize）。 斯坦的主要興趣在代數、組合數學及教學法，另著有《幹嘛學數學？》（天下文化出版）以及為中學生所寫的數學普及書系。

陳可崗 譯者

生於廣州，成長於台灣最艱困時期，曾就讀海軍官校，台大物理系畢業，美國普度大學物理博士，主修實驗固態物理。曾任教於清華大學，後移居美國，任職電子工程師。

工餘及退休後，輒常撰寫科學新知投刊於海外華文報紙，有〈量子電腦的發展〉、〈火星上生物之謎〉、〈大陸生態環境破壞的事實〉。
譯作有《十月的天空》、《觀念物理4：聲學‧光學》、《觀念物理5：電磁學‧核物理》、《牛頓（上）－最後的巫師》、《牛頓（下）－科學第一人》、《數學妖法》、《阿基米德幹了什麼好事！》、《質數魔力（上）－橫跨兩世紀的狂熱》、《質數魔力（下）－百萬美元大挑戰》、《居禮們：一個傳奇的家族》、《時光旅人》（皆為天下文化出版）。

在本書中，作者主要介紹阿基米德的研究成果，但
由於他的思考方式已經距離現代過於遙遠，因此，
他在內容呈現上，盡可能保留阿基米德思考歷程的
骨架，並適度添進現代的材料，方便讀者理解阿基
米德的想法。

作者簡介：

斯坦(Sherman K. Stein)

哥倫比亞大學博士，加州大學戴維斯分校數學教授（一直任教至1993年），該校傑出教學獎得主之一，曾獲得美國數學學會頒發的福特獎（Lester R. Ford Prize），以表彰他在闡揚數學知識方面的貢獻，此外也因為《Algebra and Tiling》這本書，獲頒貝肯巴赫書獎（Beckenbach Book Prize）。

斯坦的主要興趣在代數、組合數學及教學法，另著有《幹嘛學數學？》（Strength in Numbers）、《數學是啥玩意？》（Mathematics: The Man-Made Universe）（中文版均由天下文化出版），以及為中學生所寫的數學普及書系。

譯者簡介：

陳可崗

台大物理系畢業，美國普度大學物理博士，主修實驗固態物理。曾任教於清華大學，後移居美國，任職電子工程師。工餘及退休後，輒常撰寫科學新知投刊於海外華文報紙，有〈量子電腦的發展〉、〈火星上生物之謎〉、〈大陸生態環境破壞的事實〉。譯作有《十月的天空》、《觀念物理IV：聲學．光學》、《觀念物理V：電磁學．核物理》、《牛頓（上）－最後的巫師》、《牛頓（下）－科學第一人》、《數學妖法》、《阿基米德幹了什麼好事！》、《質數魔力（上）－橫跨兩世紀的狂熱》、《質數魔力（下）－百萬美元大挑戰》。

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