部分 積分

部分積分

積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★

部分積分の概念を証明も含めて説明します．

このページでは不定積分と定積分を同時に扱います．同形出現のタイプもすべて扱います．

部分積分とその証明

部分積分とは，2つの関数の積で構成された関数を積分する手段です．

$\displaystyle \int_{}^{} \ x \sin x\,dx$

上のような積分は，(微分は簡単ですが)積分をするのは難しく，それ用の公式が必要になります．

ポイント

部分積分

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int_{}^{} \ f'(x)G(x)\,dx}}$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\Bigl[f(x)G(x)\Bigr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)G(x)\,dx}}$

※ $G(x)$ は $g(x)$ の原始関数( $G'(x)=g(x)$ )．

$f(x)$ は微分をし，$g(x)$ は積分することになるので，基本的には $f(x)$ は微分をして定数になるものを選びます．しかし $\log x$ が出てきたら，そちらを $f(x)$ に選びます．ここが唯一注意すべき点です．

証明

積の微分公式から生まれます．簡単なので理解しておくのがオススメです．

証明

$(f(x)G(x))'=f'(x)G(x)+f(x)g(x)$

$\Longleftrightarrow \ f(x)g(x)=(f(x)G(x))'-f'(x)G(x)$

両辺 $x$ で不定積分すると

$\displaystyle \int_{}^{} \ f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int_{}^{} \ f'(x)G(x)\,dx$

両辺 $a$ から $b$ で定積分すると

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\Bigl[f(x)G(x)\Bigr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)G(x)\,dx$

部分積分の計算の主なタイプ

部分積分は主に3つのタイプに分かれます．

ポイント

部分積分の計算の主なタイプ

Ⅰ $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$

Ⅱ $\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$

Ⅲ $\displaystyle \int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$

Ⅰ 標準的なタイプで，微分をして定数になる方(今回は $x$ )を $f(x)$ にします．

Ⅱ $\log$ が入っているタイプです．$\log x$ の方を $f(x)$ にします．

Ⅲ どちらも微分をして定数にならないタイプです．検定教科書の発展になりますが入試ではよく出ます．どちらを $f(x)$ としても構いませんが，部分積分を2回繰り返すことにより解きます．よく，同形出現と呼ばれていて有名です．

例題と練習問題

例題

例題

次の積分を求めよ．

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{1}^{2}x^{2}\log x\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}e^{-x}\,dx$

(6) $\displaystyle \int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$

講義

(1)(2)標準的で，$x$ を $f(x)$ にします．

(3)(4) $\log x$ を $f(x)$ にします．

(5)部分積分が2回必要です．

(6)積分を $I$ などと文字でおき，部分積分を2回実行します．

解答

以下 $C$ は積分定数とする．

(1)

$\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$

$\displaystyle =xe^{x}-\int_{}^{} \ 1\cdot e^{x}\,dx$

$=\boldsymbol{xe^{x}-e^{x}+C}$

(2)

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[x(-\cos x)\Bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}1(-\cos x)\,dx$

$\displaystyle =\pi+\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx$

$\displaystyle =\pi+\Bigl[\sin x \Bigr]_{0}^{\pi}$

$=\boldsymbol{\pi}$

(3)

$\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{x^2}{2}\log x-\int_{}^{} \ \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$

$=\boldsymbol{\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C}$

(4)

$\displaystyle \int_{1}^{2}x^{2}\log x\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{x^3}{3}\log x\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\dfrac{x^3}{3}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{8}{3}\log 2-\left[\dfrac{x^3}{9}\right]_{1}^{2}$

$=\boldsymbol{\dfrac{8}{3}\log 2-\dfrac{7}{9}}$

(5)

$\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}e^{-x}\,dx$

$\displaystyle =x^{2}(-e^{-x})-\int_{}^{} \ 2x(-e^{-x})\,dx$

$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}+\int_{}^{} \ 2xe^{-x}\,dx$

$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}+2x(-e^{-x})-\int_{}^{} \ 2(-e^{-x})\,dx$

$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}+\int_{}^{} \ 2e^{-x}\,dx$

$=\boldsymbol{-x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C}$

(6)

$\displaystyle I=\int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$ とおく．

$\displaystyle I$

$\displaystyle =e^{x}\sin x-\int_{}^{} \ e^{x}\cos x\,dx$

$\displaystyle =e^{x}\sin x-\left(e^{x}\cos x-\int_{}^{} \ e^{x}(-\sin x)\,dx\right)$

$\displaystyle =e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$ ←同形出現

$\displaystyle =e^{x}(\sin x-\cos x)-I$

$\displaystyle 2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$ だが，積分定数を入れて

$\boldsymbol{I=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+C}$

練習問題

練習

次の積分を求めよ．

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{-2x}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin 2x\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ \log x\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}\cos x\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{1}^{2}x(\log x)^{2}\,dx$

(6) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \ e^{-x}\cos 2x\,dx$

解答

以下，$C$ は積分定数とする．

(1)

$\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{-2x}\,dx$

$\displaystyle =x\left(-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\right)-\int_{}^{} \ 1\cdot \left(-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\right)\,dx$

$\displaystyle =-\dfrac{x}{2}e^{-2x}+\int_{}^{} \ \dfrac{1}{2}e^{-2x}\,dx$

$=\boldsymbol{-\dfrac{x}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+C}$

(2)

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin 2x\,dx$

$\displaystyle =\left[x\left(-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right)\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\left(-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right)\,dx$

$\displaystyle =-\dfrac{\pi}{2}+\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}\cos 2x\,dx$

$=\boldsymbol{-\dfrac{\pi}{2}}$

(3)

$\displaystyle \int_{}^{} \ 1\cdot \log x\,dx$

$\displaystyle =x\log x-\int_{}^{} \ x\cdot \dfrac{1}{x}\,dx$

$=\boldsymbol{x\log x-x+C}$

(4)

$\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}\cos x\,dx$

$\displaystyle =x^{2}\sin x-\int_{}^{} \ 2x\sin x\,dx$

$\displaystyle =x^{2}\sin x-\left(2x(-\cos x)-\int_{}^{} \ 2(-\cos x)\,dx\right)$

$\displaystyle =x^{2}\sin x+2x\cos x-\int_{}^{} \ 2\cos x\,dx$

$=\boldsymbol{x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C}$

(5)

$\displaystyle \int_{1}^{2}x(\log x)^{2}\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\dfrac{x^{2}}{2}\cdot 2(\log x)\dfrac{1}{x}\,dx$

$\displaystyle =2(\log 2)^{2}-\int_{1}^{2}x(\log x)\,dx$

$\displaystyle =2(\log 2)^{2}-\left(\left[\dfrac{x^{2}}{2}(\log x)\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx\right)$

$\displaystyle =2(\log 2)^{2}-2\log 2+\int_{1}^{2}\dfrac{x}{2}\,dx$

$\displaystyle =2(\log 2)^{2}-2\log 2+\left[\dfrac{x^2}{4} \right]_{1}^{2}$

$=\boldsymbol{2(\log 2)^{2}-2\log 2+\dfrac{3}{4}}$

(6)

$\displaystyle I=\int_{}^{} \ e^{-x}\cos 2x\,dx$ とおく．

$\displaystyle I$

$\displaystyle =-e^{-x}\cos2x-\int_{}^{} \ (-e^{-x})(-2\sin 2x)\,dx$

$\displaystyle =-e^{-x}\cos2x-2\int_{}^{} \ e^{-x}\sin 2x\,dx$

$\displaystyle =-e^{-x}\cos2x-2\left(-e^{-x}\sin 2x-\int_{}^{} \ (-e^{-x})2\cos 2x\,dx\right)$

$\displaystyle =-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x-4I$

$\displaystyle 5I=e^{-x}\left(2\sin 2x-\cos 2x\right)$ だが，積分定数を入れて

$I=\dfrac{e^{-x}}{5}(2\sin 2x-\cos 2x)+C$

これより

$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \ e^{-x}\cos 2x\,dx$

$=\left[\dfrac{e^{-x}}{5}(2\sin 2x-\cos 2x)\right]_{0}^{\pi}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{5}(1-e^{-\pi})}$