任意四邊形面積公式對角線

在讨论了三角形的面积之后，我们将探讨一些求解四边形面积的公式，由于任何一个四边形都可以看成是由其一条对角线所分割成的两个三角形组合而成，因此，前面我们所给出的近百个三角形的面积公式都是可以用在求解四边形的面积上，不过四边形也有着它自己的特点，寻找其中的特点，推导出专门的求面积公式就是本文的目的。

注：本文所讨论的四边形都是凸四边形。

与三角形一样，在探讨之前，我们先给出四边形基础元素的符号记法。

如下图所示的四边形ABCD：

我们记AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，A，B，C，D为四个顶点所在的角度，对角线AC=m，BD=n，它们的夹角取锐角，记为\theta ，交点记为O，四边形的面积记为S。

由于四边形与三角形不同，即便是给出了四边形的四条线段的长度，也无法确定一个四边形，即给出四条指定长度的线段，由它们围成的四边形不止一个（至于有几个，不在本文的探讨范围之内），但是如果知道了四边形的两条对角线的长度以及它们的夹角却可以求解面积，若要确定四边形的形状，则只需要再知道它们的交点位置即可，所以第一个四边形的面积就出现了，如下推导：

S=S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}

=\frac{1}{2}AC\cdot BO\cdot sin\theta + \frac{1}{2}AC\cdot DO\cdot sin\theta

=\frac{1}{2}AC\cdot (BO+DO)\cdot sin\theta

=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot sin\theta

=\frac{1}{2}mnsin\theta

我们记为四边形的面积公式一。与我们在《三角形的面积公式七》中所讲述一样。

公式一是用两条对角线的长度及其夹角来求解四边形的面积，但是在通常的计算和问题中，我们总是会遇到知道四条边长，而不知道对角线长的情况，所以我们还是得要寻求以边长来求解面积的公式，可是前面说了，只知道四条边的长度没法确定一个四边形，那么面积也就不确定，为此，我们还需要一个量来确定形状，结合公式一，我们可以想到保留\theta 角，而用四条边长来替代对角线，而能够用长度和角度来求解长度的就是余弦定理。且看下面的推导：

我们分别在\triangle AOB，\triangle BOC，\triangle COD，\triangle DOA中利用余弦定理，可得：

a^2 = AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cdot cos\theta

b^2 = BC^2=OB^2+OC^2-2OB\cdot OC\cdot cos(180^{\circ} - \theta )

c^2 = CD^2=OC^2+OD^2-2OC\cdot OD\cdot cos\theta

d^2 = DA^2=OD^2+OA^2-2OD\cdot OA\cdot cos(180^{\circ} - \theta )

而cos(180^{\circ} - \theta ) = -cos\theta

所以：(b^2+d^2 )-(a^2+c^2)

=2(OB\cdot OC+OA\cdot OD+OA\cdot OB+OC\cdot OD) cos\theta

=2(OB+OD)(OA+OC) cos\theta

=2mncos\theta

利用此结果消去公式一中的mn，可得：

S=\frac{1}{4}[(b^2+d^2 )-(a^2+c^2)]tan\theta

我们记此式为四边形的面积公式二。

为了方便论述，我们记D=|(b^2+d^2 )-(a^2+c^2)|，由于我们取\theta 为锐角，所以可以证明D一定是大于0的，我们加上绝对值，这样\theta 便可以取钝角了，但不能是直角，因为此时 tan\theta 没有意义。D的文字描述是：四边形两组对边平方和的差。

公式二是用边长代替了对角线长，另一个对策就是用边长替代夹角，于是可将公式一和公式二结合，并使用三角函数公式\frac{1}{sin^2\theta } = 1+\frac{1}{tan^2\theta }消去\theta ，我们省去中间化简整理的步骤，便得：(4S)^2+D^2=(2mn)^2。

即：S=\frac{1}{4}\sqrt{(2mn)^2-D^2}

我们记为四边形的面积公式三。可以发现4S，D，2mn是一组勾股数。

倘若既不知道对角线的长，也不知道对角线的夹角，我们就需要别的量来替代，以此确定四边形的形状，我们可以尝试着从四边形的对角出发，依然采用分割为两个三角形的思路。

显然有：S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}absinB + \frac{1}{2}cdsinD = \frac{1}{2}ab\sqrt{1-cos^2B} + \frac{1}{2}cd\sqrt{1-cos^2D}

两边平方，去掉根号可得：16S^2=4a^2b^2 - 4a^2b^2cos2B + 8abcdsinBsinD + 4c^2d^2 - 4c^2d^2cos2D

分别在\triangle ABC，\triangle ADC中，由余弦定理得：a^2+b^2-2abcosB = AC^2=c^2+d^2-2cdcosD

为了配合上面关于面积的等式，我们将此式构造成下面的式子：(a^2 + b^2 - c^2 - d^2) + 8abcdcosBcosD = 4a^2b^2cos2B + 4c^2d^2cos2D

上面两式中需要进行三角函数的变化运算，我们就不一一演示了。

将两式联立，可得：16S^2=4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 - 8abcd(1 + cosDcosB - sinBsinD)

而1 + cosBcosD - sinBsinD = 1+ cos(B+D) = 2cos^2\frac{B+D}{2}

所以：S= \sqrt{(\frac{ab + cd}{2})^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{4})^2 - abcdcos^2\frac{B+D}{2}}

此式可以看成是秦九韶公式对四边形的扩展。

反复利用平方差公式，可得：(\frac{ab + cd}{2})^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{4})^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)，其中2p = a+b+c+d

所以有：S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)- abcdcos^2\frac{B+D}{2}}

此式可以看做是海伦公式对四边形的扩展。

我们记这两个公式皆为四边形面积公式四，前一个形式称为秦九韶形式，后一个称为海伦形式，由于在四边形中，由A+B+C+D=360^{\circ}，所以cos^2\frac{B+D}{2} =cos^2\frac{A+C}{2}，于是这一项可以描述为四边形对角和一半的余弦平方。

由三角形和四边形都有着类似秦九韶公式和海伦公式的式子，因此我们可以猜想是不是对五边形、六边形……都存在类似的面积公式呢？其中的奥秘等待着读者去探索。

由公式三和公式四的秦九韶形式，我们可以得到一个在四边形中很重要的等式。

S=\frac{1}{4}\sqrt{(2mn)^2-D^2} =\sqrt{(\frac{ab + cd}{2})^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{4})^2 - abcdcos^2\frac{B+D}{2}}

即有：(\frac{mn}{2})^2-[\frac{(b^2+d^2 )-(a^2+c^2)}{4}]^2 =(\frac{ab + cd}{2})^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{4})^2 - abcd[\frac{1+ cos(B+D)}{2}]

展开化简整理可得：m^2n^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcdcos(B+D)。

我们称此式为四边形对角线乘积公式。

以上四个公式都是求解四边形面积的一般公式，由于不是每一个四边形都有外接圆和内切圆，所以无法像三角形那样用外接圆和内切圆的性质来表达一般的四边形面积，但是我们可以单独把具有外接圆和内切圆的四边形拿出来研究。

当四边形具有外接圆时，如下图所示：

很明显，圆内接四边形的一个性质就是对角之和等于180度，即A+C=B+D=180^{\circ}，因为一个圆周是360度，对角之和其实就是两个圆周角之和，也是一个圆周，而圆周角等于圆心角的一半，因此等于180度。

这样就有：cos^2\frac{B+D}{2} =cos^2\frac{A+C}{2} = cos^2\frac{180^{\circ}}{2} = 0，于是公式四就变为：

S= \sqrt{(\frac{ab + cd}{2})^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{4})^2} 以及S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

我记为四边形面积公式五。

同时，四边形对角线乘积公式就变为：

m^2n^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcdcos(B+D)=a^2c^2+b^2d^2-2abcdcos(180^{\circ})

=a^2c^2+b^2d^2-2abcd

=(ac+bd)^2

即：mn = ac+bd

这个式子通常被称为托勒密定理，内容可描述为：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

依旧采用分割法，S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}，利用三角形面积公式三S_\triangle = \frac{abc}{4R}，四边形的外接圆半径也记为R，可得：

S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC} = \frac{abm}{4R} + \frac{cdm}{4R} = \frac{(ab+cd)m}{4R}

同理可得：S= \frac{(ad+bc)n}{4R}

记为四边形面积公式六。

根据公式五的海伦形式，可以发现，圆内接四边形的面积与四条边的排列顺序无关，即a、b、c、d的顺序可以互换，只要长度不变，面积就不变，就对角线而言，互换四条边，只会得到三条长度的对角线，我们记另外一条对角线长为l，此时a和c成为邻边，b和d成为邻边，则有S= \frac{(ac+bd)l}{4R}。

在原来的圆内接四边形中，由托勒密定理，可得：ac+bd=mn，分别代入三条对角线的公式里，则有：

S=\frac{\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)} }{4R}。

记为四边形面积公式七。

下面我们再来看看具有内切圆的四边形，如下图所示：

四边形ABCD的内切圆为\odot I，与四边的切点分别为E、F、G、H，半径为r，分别连接A、B、C、D四点与点I的连线。

根据圆外一点引圆的两条切线长相等，则有：AE=AH，BE+BF，CF=CG，DG=DH。

所以：a + c = AB + CD = AE + EB + CG + DG

= BF + FC + DH + AH= BC + AD = c + d

从而有p = a+c=b+d，p即周长一半。

所以：p-a=c，p-b=d，p-c=a，p-d=b，

代入公式四的海伦形式里，则有：S=\sqrt{abcd- abcdcos^2\frac{B+D}{2}}

即：S=\sqrt{abcd}\cdot sin\frac{B+D}{2}=\sqrt{abcd} \cdot sin\frac{A+C}{2}

记为四边形的面积公式八。

特别的，当一个四边形既有外接圆，又有内切圆时，公式八则变为：S=\sqrt{abcd}。

同时，在内切圆图中，以内切圆圆心分割四边形为四个小三角形，则有：

S=S_{\triangle IAB}+S_{\triangle IBC}+S_{\triangle ICD} + S_{\triangle IDA}

=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}dr=rp，其中p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)。

记为四边形面积公式九。

用角度来表示a，b，c，d，则有AE=AH=rcot\frac{A}{2}，BF=BE=rcot\frac{B}{2}，CF=CG=rcot\frac{C}{2}，DG=DH=rcot\frac{D}{2}，则有：

S=(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}+cot\frac{D}{2})r^2

记为四边形面积公式十。

总结：四边形的特点是可以被分割成两个三角形，因此在处理有关四边形的问题时，我们总是会连接两条对角线，然后用三角形的知识来解决，事实上，对于更复杂的图形，我们的思路也是这样，最基本的三角形，我们已经有了非常透彻的知识库，而再复杂的几何图形也都可以划分成许多三角形，从而奠定了三角形在解决几何问题中的地位。本文中的几个面积公式，很多都和三角形的一些公式有着极其相似的结论，显然这不是偶然的。我们在求解面积的时候，首先考虑的是如何确定一个几何图形，因为图形不确定，面积也就不一定能确定，所以我们从这个思路出发，通过三角形分割的方法，一步步推导出四边形一般的面积公式，当有了一般的公式后，我们就会想着特殊的四边形就成了特例，这种特例往往会有更加简单的方法，比如本文中的圆外接四边形和具有内切圆的四边形，其中具有内切圆的面积公式九和十的方法可以推广到任意具有内切圆的多边形上，特别的公式十在三角形中也有，而且当全部的角度知道后，四边形的形状就确定了，内切圆半径再决定其大小，这样图形就确定了，面积也就确定了，这个思想很重要，我们还会日后继续讨论。