投資組合報酬率相關係數

共變異數與相關係數(Covariance and Correlation Coefficient of Financial Assets)

要評估兩個資產(assets)報酬率的相關性時，就需要計算它們的共變異數和相關係數。

舉例來說，有A和B兩個資產，過去六個月的報酬率分別是


由過去六個月的報酬，可以算出A的平均月報酬是2.17%，B是2.15%(算術平均數)。但可以明顯看出A和B不是齊漲齊跌的。有時候會有一個上揚，另一個卻虧損(第五個月份)。共變異數(Covariance)量測的是，這兩者的月報酬向同一方向偏離各自平均報酬的程度。它的公式為

Cov= 1/(n-1) * Sum i=1 to n (Rai-Raave)*(Rbi-Rbave)

Rai 代表A資產各月份的報酬率
Rbi 代表B資產各月份的報酬率
Raave 表A 資產的平均報酬率
Rbave 表B資產的平均報酬率

就是將A、B兩者每個月的報酬率和平均報酬率的差相乘，然後除以5。(ps因為是用歷史報酬，要除以n-1)

然後將118.29除以5，等於23.66，這就是A、B兩者的共變異數(Covariance)。

在計算過程中可以發現，假如AB兩者某個月的報酬都是同時高於平均或同時低於平均，這樣兩者報酬率和平均報酬率的差相乘後會得到一個正數，會讓共變異數的數值變大。假如AB兩者某月份報酬，一個高過平均，一個低於平均，那麼兩者報酬率與平均的差相乘會得到一個負數，會減小共變異數的數值，或使其成為負數。

但問題來了，AB兩資產報酬的共變異數23.66，這樣兩者的報酬率相關性到底如何呢?假如兩者的報酬率都是穩定的，這樣23.66會代表比較高的相關程度，假如兩者波動性都很大，那麼共變異數23.66其實代表的相關程度不高。為了解決這個問題，我們可以把共變異數除以AB兩者報酬率的標準差，就會得到相關係數(Correlation coefficient)。

Correlation coefficient = Cov / (SDa*SDb)

Cov表AB的共變異數
SDa 為A的標準差
SDb 為B的標準差

用Excel算出A的標準差是7.96，B的標準差為4.53。兩者的相關係數等於23.66/(7.96*4.53)=0.66。

相關係數會是一個介於-1到+1間的值。+1代表兩者完全正相關，-1表完全負相關。在資產配置理論裡，相關程度愈低的資產，將發揮愈大的”互補”功效。

回到首頁:請按這裡

初來乍到:請看”如何使用本部落格”

相關文章:
標準差怎麼算

投資組合的預期報酬(Expected Return of Portfolio)

投資組合的標準差(Standard Deviation of Expected Return of Portfolio)

資產比重對投資組合報酬及標準差的影響

資產配置的提升報酬效果(Diversifiable and Nondiversifiable Volatility)

從一則健康新聞談起(Correlation does NOT mean causation)

但這邊的計算跟投組報酬有些許不同，無法由個別資產的變異數直接加權計算。假設我們的投組有兩檔ETF，資料如下，如何計算投組的報酬率變異數呢？

[啟動LINE推播] 每日重大新聞通知

(共變異數)

把甲乙兩個股票組合起來的投資組合，變異數要怎麼計算？

多角化與風險分散

風險分散的道理，即是「不要將雞蛋放在同一個籃子裡」。透過多角化的投資方式，就能投資組合的風險分散掉。不過分散的效果，還要看組合內的個別資產的相關係數而定。

相關係數越高，分散的效果越差； 相關係數越低、甚至是負的，分散的效果越好。

當相關係數＝1時，投資組合標準差是個別資產標準差的加權平均，無風險分散效果。當相關係數介於+1與-1之間，投資組合標準差小於個別資產標準差的加權平均，有風險分散的效果。當相關係數＝-1，風險分散效果最好。

（延伸閱讀：還在選日子進場賭輸贏？經濟學家這樣說：九成賺頭決定在資產配置！）

資本市場理論 投資組合管理

市場效率與投資組合管理

市場是否具有效率，和管理投資組合的積極程度有些關係。

當市場沒有效率

當市場不是很有效率時，可能會有低估或是高估的投資標的，此時投資者本身如果具有分析的時間以及能力，可以採取積極投資策略，根據所得到的資訊進行分析，進場買賣，獲取理想的報酬。

當市場很有效率

當市場處於非常有效的情況時，市場價格會反映了所有資訊，包含內線消息。這時不論如何努力地分析、研究，都很難找出價格低估或是高估的投資標的。很難找出，就很難從市場中賺取超額報酬。此時，可以想想當再怎麼努力尋找資訊進行分析都無法賺取超額報酬，那不如採取較省時省力的被動投資策略。

主動式（積極）投資組合管理介紹

主動式投資的兩大重點分別為「擇時」、以及「選股」。

擇時（Market Timing）

擇時，是預估或是判斷市場，已掌握進場或是出場的時機，來挑整投資組合，達成最佳的資產配置。簡單講就是找最佳時機。當判斷處於多頭行情時，為了增加報酬，會出售貝他係數（β）較小的股票，將資金轉入貝他係數（β）較大的股票。

貝他係數（β）越大，受市場影響越大。

多頭市場時，可降低現金權益比例（Cash/Equity Ratio），因市場行情即將上漲，應該降低閒置資金的比例。反之當空頭市場時，要提高現金權益比，以減少投資損失。

如果不具有擇時的能力，利用定期定額投資法，就能避開錯誤擇時的風險。

選股策略

選股的基本原則是挑有上漲潛力、或是目前價格被低估的目標。簡單講是找好標的。由上而下選股法，是要挑對類別、產業，當產業有前景，即使績效低的公司仍賺錢。在選股方面，要避免選擇太多性質類似的個股，因為這樣無法降低投資風險。當發現有利、不利消息時，調整持股可以賺取享有因題的上漲，降低可能下跌股票的比重。小型股成長潛力較佳，適合能承受風險，以及希望能賺取較高報酬的投資人。大型股獲利穩定，股價較不具爆發性，適合穩健型投資人。

量化交易30天
本系列文章是紀錄一位量化交易新手的學習過程，除了基礎的Python語法不說明，其他金融相關的東西都會一步步地說明，希望讓更多想學習量化交易但是沒有學過相關金融知識的朋友們，透過這系列的文章，能夠對量化交易略知一二，也歡迎量化交易的高手們多多交流。

這篇會假設有一個投資組合，裡面只有兩種資產，來說明報酬與風險的概念，條件如下：

資產A：預期年化報酬9%，標準差10%。
資產B：預期年化報酬18%，標準差30%。

稍微科普一下，

• 預期年化報酬率：代表標的未來預測的年化報酬是幾%，而預測方法則是每個人有不同見解，例如：可以用過去績效來衡量、或是未來展望...等等。
• 標準差：代表年化報酬的波動程度，標準差越大，報酬的可能範圍越廣，標準差會落在0~100%。

投資組合報酬率

假設我們用A、B組成一個投資組合，A佔投組總資產的x部份，B就是佔(1-x)，這邊是假設不保留現金的情況。代入資產A與B的預期年化報酬，投組報酬率就會是：

R = 0.09x + 0.18(1-x) = 0.18 - 0.09x

代表不同的x會產生不同的投組預期報酬率，例如：

• A佔總資產的25%，x就是0.25，將x帶入公式，R就會是15.75%
• A佔總資產的50%，x就是0.5，R就是13.5%

可以發現，當A資產佔比越高，預期報酬率越低，因為A本身的預期報酬就比較低，所以應該將A捨去追求最高的預期報酬率嗎？這個問題就牽涉到投資組合標準差與相關係數。

投資組合標準差與相關係數

要計算投資組合的標準差，是用公式慢慢推導可以得到，不過因為有點冗長，這邊直接用python寫成計算式比較快：

import math

def s(x, Sa, Sb, corr):
    return math.sqrt( (x**2) * Sa**2 + ((1-x)**2) * Sb**2 + 2 * x * (1-x) * corr * Sa * Sb )

其中：s是投組標準差，x是A資產佔總資產的比例，Sa是A資產標準差，Sb是B資產標準差，corr是A與B的相關係數。

相關係數(corr)是代表A與B資產收益率的變化關係，corr會在-1到+1這個範圍內，corr小於0的話代表A與B資產的報酬率通常是反向變動，大於0則是同向變動。

相關係數對於投資組合標準差的影響

假設我們用A資產60%，B資產40%的投資組合，帶入上面的數字及公式，

import pandas as pd
import numpy as np

# params
corr_set = [-1, -0.5, 0, 0.5, 1]

# standard deviation set
std_dev = []

# calculate standard deviations
for corr in corr_set:
    std_dev.append(s(0.6, 0.1, 0.3, corr))
df = pd.DataFrame({'corr': corr_set, 'std_dev': std_dev}, columns = ['corr','std_dev'])
df

可以得到下列表格，相關係數由-1到+1，標準差逐漸上升，因為當兩種資產呈同向變動的時候，波動度會比呈反向變動的大。

投組配比 v.s. 相關係數 v.s. 標準差 三者的關係

上面跑了相關係數跟標準差的關係，現在則是要再加入一個變數，就是A佔總資產的比例x，也就是A與B的比例變化。所以呢我就將x從0到1切成100等分，也就是A佔比從0到100%(B從100%到0)。

• 先算出平均報酬

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

# 預期報酬計算公式
def exp_return(x):
    return(9*x+18*(1-x))

# 計算不同組合下的預期報酬
rets=list(map(exp_return,[x/100 for x in range(101)]))

# 轉成 dataframe
rets_df = pd.DataFrame(index=list(range(0, 101)), data=rets, columns=['expected return'])

# 畫圖
plt.figure(figsize=(15,10))
plt.plot(rets_df)
plt.ylim([8,19])
plt.xlabel("A資產佔比(%)", fontsize=20)
plt.ylabel("投組預期報酬率(%)", fontsize=20)
plt.xticks(fontsize=15)
plt.yticks(fontsize=15)

上圖中的斜直線，越往右下代表A佔比越高，所以預期報酬會越接近A資產的預期報酬，反之亦然。

• 計算不同報酬，不同資產配比下的標準差

# 投組標準差資料集合
std_dev_sets = []

# 計算標準差
for corr in corr_set:
    std_dev = []
    for x in range(0,101):
        std_dev.append(s(x/100, 0.1, 0.3, corr))
    std_dev_sets.append(std_dev)

# 繪圖
plt.figure(figsize=(15,10))
plt.plot(std_dev_sets[0],rets,label='corr = -1')
plt.plot(std_dev_sets[1],rets,label='corr = -0.5')
plt.plot(std_dev_sets[2],rets,label='corr = 0')
plt.plot(std_dev_sets[3],rets,label='corr = 0.5')
plt.plot(std_dev_sets[4],rets,label='corr = 1')
plt.xlabel('投組標準差(%)', fontsize=20)
plt.ylabel('投組預期報酬率(%)', fontsize=20)
plt.xticks(fontsize=15)
plt.yticks(fontsize=15)
plt.legend(loc='upper left',prop={'size': 15})

上面這張圖乍看資訊很多，可以從幾個方向拆解，就會比較好懂了：

1. Y軸代表投組的預期報酬率，而根據本篇最上面那條公式，會影響預期報酬率的只有資產配比x，所以Y軸從下到上的這些數字，就代表不同的資產配比算出來的投組預期報酬。
2. 假設我們取相關係數corr=-0.5這條橘色線來看，當投組預期報酬率往上增加的時候，會有一小段彎曲的部份，這段負斜率的部份代表標準差下降的同時，報酬率卻是上升的，這是單一資產做不到的事情，因為單一資產的話，通常報酬上升的同時風險也會增加。
3. 相關係數corr小於0的時候，投組才比較有標準差下降，而報酬率上升的這種效果。
4. 不同相關係數會導致線圖長得不一樣，不過corr=-1跟corr=+1這兩條線算是虛構的，因為在真實世界裡面很少有完全負相關或是完全正相關的資產組

本篇總結
這篇就大概講投資組合的理論如何用量化的方式來呈現，真的是非常學術的一篇阿，可能有點硬，但是有了這些數字之後，下一篇就要來玩玩幾個投資組合拉，會回到投資組合第一篇開頭講的股債配比的議題來研究一下，請繼續收看拉。

P.S.
如果大家對於量化交易有興趣的話，我自己有上過以下這門課，課程內容從串接股市資料API、儲存至資料庫、將自己的策略轉化成程式碼、自動下單，並且可以把整個流程自動化，每天早上執行一次，一整天就不用看盤了，覺得是蠻實戰的，可以參考看看。

筆者 Sean
奈米戶投資人 / Python愛用者
喜歡用Python玩轉金融數據，從個股基本面、技術面、籌碼面相關資料，一直到總體經濟數據，都是平常接觸到的素材；對於投資，除了研究歷史數據，也喜歡瞭解市場上大家在玩些什麼。