史上最難的數學題目

在數學界中，有一道很經典的難題叫「傳奇的第 6 題」（The Legend of Question Six）。它是國際數學奧林匹亞當中，公認史上最困難的題目。

這道題目是這樣的：

假設正整數 a、b，滿足 ab + 1 可以整除 a^2 + b^2，證明 (a^2 + b^2) / (ab + 1) 是某個整數的平方。
Let a and b be positive integers such that ab + 1 divides a^2 + b^2. Show that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer.

這道題目，當年的奧林匹亞數學議題委員會，以及 4 位數論專家都解不開，被認為「不適合放到競賽題目中」。最後它還是變成了比賽題目，而且還被參賽者解開。

傳奇的第 6 題，當年的理論數學家也解不出來

首先，我們來認識國際數學奧林匹亞競賽。

國際數學奧林匹亞（International Mathematical Olympiad，IMO，下文簡稱奧數）是全球性的數學競賽，參賽對象為全球的中學生，可說是數學界的奧運，從 1959 年開始舉辦，至今已有 60 年的歷史，是國際科學奧林匹亞當中歷史最長的賽事。奧數競賽共有 6 道題目，基本上都是證明題，分為簡單、中等與困難 3 個等級，第 1 與第 4 題屬於簡單題，第 2 與第 5 題屬於中等題，第 3 與第 6 則是困難題。每題滿分為 7 分，總分 42 分。

奧數每年都由不同的國家主辦（台灣曾擔任 1998 年的主辦國），題目由主辦國外的其他參賽國提供，主辦國會組織擬題委員會，從題目當中選出候選題目，再由參賽各國一同商議出最終競賽題目與官方解答。

而「傳奇的第 6 題」是 1988 年的題目，是由西德數學家提供的。西德曾獲 1982 和 1983 年的奧數冠軍，後來被美國、蘇聯、羅馬尼亞等國奪去冠軍頭銜，西德數學家就在 1988 年，精心設計超難的「傳奇的第 6 題」。

當年主辦國是澳洲，結果擬題委員會的 6 個成員都無法解開這道難題，他們向國內最強的 4 位數論專家求助，他們也無法解題。但是擬題委員會仍然把這道題目列為候選題，結果各國商議過後，竟然真的採用這道題目，成為第 29 屆奧數的第 6 題。

更驚人的是，竟然有參賽選手解開這道題目。雖然 268 位選手的平均得分只有 0.6，是奧數 29 年來分數最低的一題，卻有 11 名選手取得滿分。要特別強調的是，奧數是辦給「中學生」的數學競賽，那些中學生能夠解開理論數學家解不開的題目，真的非常驚人。

他們是怎麼破解「傳奇的第 6 題」的？

奧數選手用高中程度的「韋達跳躍」，破解傳奇的第 6 題

其實他們用的並不是微積分、離散數學、線性代數等高等數學技術，而是高中數學程度的「韋達跳躍」（Vieta jumping）。韋達跳躍包含兩個部分：韋達定理（Vieta’s theorem）、無窮遞降法（method of infinite descent）。

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韋達定理描述二次方程式當中，兩根的和、積與項數之間的關係，這是台灣高一數學課的內容。韋達定理是這樣的：

假設一元二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 有兩根 α、β，則 α + β = -b/a，αβ = c/a。

無窮遞降法則是一種反證法，台灣高中數學不特別教無窮遞降法，因此對高中生來說，這的確是一種艱深的數學技術；但高一數學的「數學歸納法」會提到反證法，可能還是會有些「神人」懂無窮遞降法。無窮遞降法是這樣的：

先假設方程式有解，並假設 X 為最小解；接著再從 X 出發，嘗試推導出另一個更小的解 Y。若能推導成功，代表與前題假設「 X 為最小解」矛盾，因此能證明此方程式無解。

使用上述方法，解答「傳奇的第 6 題」的思維會是：

1. 根據題目敘述，ab + 1 可以整除 a^2 + b^2，所以 (a^2 + b^2) / (ab + 1) 是正整數；假設該正整數為 k。

2. 接著，假設有正整數 a、b 滿足 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k，而 k 不是平方數。

3. 最後，假設在所有滿足條件的正整數中，有一組是 a1、b1，它們擁有最小的和；假設 a1 >= b1。

解題時，就可以製造一個矛盾，證明還有比 a1、b1 小的值，因此前一個假設「k 不是平方數」也不成立。最後就可以證明「k 是平方數」，(a^2 + b^2) / (ab + 1) 的值必定是某個數字的平方數。

我們可以開始解題了：

根據 (1)，由於 k、b1、a1 皆為整數，因此 a2 必為整數。
根據 (2)，由於 k 不是平方數，(b1)^2- k 不可能是 0，因此 a2 不可能是 0。
根據 (a2^2 + b1^2) / (a2b1 + 1) = k，由於 k、b1 是正整數，因此 a2 不可能是負數。

也就是說，a2 是個正整數。

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前面，我們假設過 a1 >= b1，因此根據 (2)，a2 一定小於 a1，因此 a2 + b1 為更小值，與「a1 + b1 為最小和整數解」的假設矛盾，也因此「k 不是平方數」是錯誤的假設。可以證明，(a^2 + b^2) / (ab + 1) 的值必定是某個數字的平方數。

雖然高中生不會記得「韋達定理」這個名稱，但它是高中數學很基本的解題技巧，是小考、段考考到爛掉，學測、指考也會出現的概念。「無窮遞降法」的難度較高，但背後的原則「反證法」也是高中證明題常用到的技術。然而就是會有厲害的人，能夠用這些基本的技術，搭配巧思，解答理論數學家無法解答的難題。

看到這麼乾淨的思維與解題流程，真的是佩服那些奧數的參賽選手（跪了）。

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參考資料：
1. 《史丹福狂想曲》：〈史上最難的奧數題目〉
2. 《Science Alert》：〈The Legend of Question Six: One of The Hardest Maths Problems Ever〉
3. 《MATHEMATICS》：〈Simple solution to Question 6 from the 1988 Math Olympiad [duplicate]〉

（首圖截自 MATHEMATICS）

對許多人來說，數學是一門深奧的藝術，但對計算機來說卻是十分間單的公式，有台灣網友就在爆料公社貼出一張照片，同樣的計算公式，得出的答案卻不相同，讓網友疑惑究竟哪一個答案才是對的？

照片中可以看到一台計算機跟一台手機，上面都有著同一行計算公式「6÷2(2+1)」，不過計算機得出的答案是1，手機得出的答案卻是9，比人腦還精的計算機究竟出了什麼問題？

計算機跟手機，上面都有著同一行計算公式「6÷2(2+1)」，不過計算機得出的答案是1，手機得出的答案卻是9。（Facebook@爆料公社）

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這道題雖然難倒了計算機，卻沒有難倒人腦，有網友就表示其實兩種運算都沒錯，「模稜兩可的爭議題式，代數跟四則運算皆可用，1、9答案皆算對也算錯，就看出題的原則是什麼了」、「其實我們應該先思考為什麼要把乘號省略，在代數中省略乘號是因為相乘兩數是一個整體不可分開，例如6÷2n和6÷2×n是不一樣的」

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更有網友提出某些計算機的沿用舊時公式才會出現差異，「1917年之前的數學算法和之後的算法不同，當時規定碰到除法時，應該將左邊整個算式除以右邊整個算式，有些計算機沿用舊例，所以會出現不同的情況」。

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還有許多網友爆笑回覆，遇到數學題目，一概不回答，「女人也許會欺騙你，兄弟也許會背叛你，但數學不會，數學不會就是不會」、「算我的薪水的時候用右邊算式，扣我薪水的時候用左邊的，謝謝老闆」、「我是覺得這道數學題不要解了，來想想中秋烤肉要烤什麼材料好了，這比較實際」。

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【本文獲「聯合新聞網」授權轉載。】

所谓活到老，学到老，还有三分没学到。它表达出了一种生命不止、学无止境的精神。在高速发展的当代，知识更新的速度日益加快，人们要适应变化的世界，就必须怀秉着学无止境的态度。那么世界上最难的数学题是什么？下面跟着奥秘世界小编一起开启学霸模式。

世界上最难的数学题

目前世界上最难的数学题一共有三个，分别是费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。其实前两大猜想已经证实了，哥德巴赫猜想尚未解决。

1、四色定理

四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。四色定理是一个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

1976年借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理。四色定理的本质就是在平面或者球面无法构造五个或者五个以上两两相连的区域。

2、费马大定理

又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。

它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

1993年6月，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣称证明：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山—志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”。

3、哥德巴赫猜想

公元1742年6月7日德国的业余数学家哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:

1、每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；

2、每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

这就是著名的哥德巴赫猜想。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。

史上最难中学生数学题

近日，一道堪称史上最难中学生数学题难倒了无数网友，居然没有一个人可以解答出来。

这是新加坡一道为十五六岁学生设计的奥数题，出现在一次考试里，被人放上网，迅速引起全球网民踊跃答题。不少人把自己的解题思路发布在网上，很快便有人跟帖点评，或探讨不同方法，或指出错误。

题目：

阿尔贝茨和贝尔纳德想知道谢丽尔的生日，于是谢丽尔给了他们俩十个可能的日期：5月15日、5月16日、5月19日、6月17日、6月18日、7月14日、7月16日、8月14日、8月15日、8月17日。谢丽尔只告诉了阿尔贝茨她生日的月份，告诉贝尔纳德她生日的日子。阿尔贝茨说：我不知道谢丽尔的生日，但我知道贝尔纳德也不会知道。贝尔纳德回答：一开始我不知道谢丽尔的生日，但是现在我知道了。阿尔贝茨也回答：那我也知道了。那么，谢丽尔的生日是哪月哪日？

答案：

因为5月和6月均有只出现过一次的日子18日和19日，知道月份的阿尔贝茨就能判断，到底贝尔纳德有没有肯定的把握，所以她的生日一定是7月或8月。贝尔纳德的话也提供信息，因为在7月和8月剩下的5个日子中，只有14日出现过两次，如果谢丽尔告诉贝尔纳德她的生日是14日，那贝尔纳德就没有可能凭阿尔贝茨的一句话，猜到她的生日。

所以有可能的日子，只剩下7月16日、8月15日和8月17日。在贝尔纳德说话后，阿尔贝茨也知道了谢丽尔的生日，反映谢丽尔的生日月份不可能在8月，因为8月有两个可能的日子，7月却只有一个可能性。所以答案是7月16日。

不少主流媒体纷纷把这道“惊艳”的数学题发布在报纸网站上。民众老早就抱怨本国数学教育太弱，许多孩子小学毕业时都背不出九九乘法表。新加坡出题机构特意澄清此题是为中学生设计，希望家长不要过早地增加孩子课业负担。

难倒全球网民的数学题，看完题目与答案，奥秘小编表示深深的膜拜，出题者智商简直不是一般人。

奥秘世界小编结语：对于小编这种学渣来说，光是数学题就头疼了，更别世界上最难的数学题。独乐了不如众乐乐，最后小编带来一道数学题：李先生带了1000元要买4台路由器，一台JCG智能无线路由器要398元，李先生买完了，还剩下10块钱，他是怎么买的？这道题已经有100多位数学家参与研究，但却被一个小学生在10分钟内给出了正确答案。据说世界上只有1%的人能答对这道题，大家不妨猜猜看。