亂 數 產生 器

隨機亂數產生器

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沒有重複項目

結果

隨機數生成器，也稱為 RNG。 支持 “不重複” 功能，如果您設置的結果數量大於一。 範圍是 0 〜 9999，而結果的最大數目是 1000。 您可以視需要變更頁面標題。 時間戳記會從您的作業系統擷取。 它生成適合大多數加密使用的密碼隨機數。 它利用一個內置的加密函數（ crypto.getRandomValues ），而不是一個流行的隨機器（ Math.random ）或一個眾所周知的 MT 算法（ Mersenne-Twister ）。 Mersenne-Twister 算法不會生成密碼安全值，並且不應該用於加密目的。 不提供任何形式的保證，無論明示或暗示。 請遵守當地法律，用戶對任何違反行為負責。

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隨機亂數產生器是一款免費的線上隨機亂數生成工具，可用於線上隨機排序、搖獎抽號、彩票類比、隨機密碼等。你可以根據自己的需求自定義參數，包括亂數生成的範圍、生成亂數的數量、生成的多個亂數是否唯一等等。

亂數生成器設定

1. “最小數”和“最大數”可以限制隨機結果中的亂數範圍，例如，如果需要生成小於10的整數，可以分別填寫0和10； 如果需要生成3比特亂數，需要在“最小數”中填寫最小3位數“100”，在“最大數”中填寫最大3位數“999”。

2. “生成個數”是指一次生成亂數的數量，如果你需要同時生成5個亂數，你可以在這裡輸入“5”。

3. “允許重複？” 是允許或杜絕同一個亂數在亂數結果中多次出現。 這個設定只有在“亂數”生成個數“1”時才有效。

亂數發生器是如何工作的？

本系統可以通過點擊一次“生成”直接生成亂數； 也可以通過點擊下麵的“開始”按鈕開始生成亂數，然後通過點擊“停止”按鈕終止並生成亂數，也可以通過鍵盤上的空白鍵來控制。

本系統還支持全屏功能，點擊右側的全屏按鈕即可進入全屏模式，也可以直接按下鍵盤上的“F11”。

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• 文／賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

發現就是看到別人都看到的東西，但思考別人沒有想到的東西。

－Albert Szent-Györgyi，1937年諾貝爾醫學獎

在「黑體輻射光譜與量子革命」（科學月刊，2022 年）一文裡，筆者提到了普朗克如何於 1900 年 10 月 19 日靠猜測幸運地導出了符合實驗的黑體輻射光譜分佈公式；然後花了約兩個月的時間找出了可以解釋那猜測的背後物理，於 1900 年 12 月 14 日的德國物理學會會議上提出了電偶極振盪子能量（ε）量化 ε =hν （h 為普朗克常數，ν 為振動頻率）的背後物理。因此 1900 年 12 月 14 日被公訂為「量子理論的誕生日」。

但如果良馬沒有遇到伯樂，它會是一匹良駒嗎？

普朗克：「量子假設永遠不會從世界上消失」

普朗克雖然找到了物理的答案，解決了他的「幸運猜測」；但那個物理卻是非常奇怪：

1. 輻射的能量怎麼跟頻率有關呢？在古典物理裡，輻射能量只與強度有關。
2. 任何頻率的輻射能都應該是連續的（即任何能量值都可能），怎麼是量子化的、不連續的？普朗克長期以來一直認為這只是一種數學假設或方便而已，與實際的物理無關。

在他看來，沒有理由懷疑古典力學和電磁力學定律的崩潰。普朗克不認為他的理論與古典物理學大相逕庭，因此他在 1901 年到 1906 年間，根本沒有發表任何關於黑體輻射或量子理論的文章。

1905 年，愛因斯坦提出了支持能量量化的光量子理論（見後）；但 1913 年，當普朗克推荐愛因斯坦為普魯士皇家科學院士時，卻謂光量子是過分越矩的大膽假設。1914 年，普朗克本人在向柏林大學推薦愛因斯坦任教時，也做了類似的評語（儘管愛因斯坦的光量子理論構思不周，還是希望他的同事們接受愛因斯坦）。

所以普朗克真的是發現量子力學嗎？ 歷史學家和科學哲學家庫恩（Thomas Kuhn）指出：普朗克在 1900 年和 1901 年的論文中沒有一處清楚地寫道：單個振盪器的能量只能根據 ε =nhν 獲得或耗散能量（n 是整數）。

如果這確是他的意思，他為什麼不這麼說？ 如果他意識到他已經引入了能量量子化的奇怪新概念，為什麼他在四年多的時間裡一直保持著沉默？ 此外，在他 1906 年的熱輻射理論講座中，普朗克還是只闡述傳統的能量連續理論，沒有提到任何電偶極振盪子能量量化的可能性。

如果普朗克早在 1900 年就如他後來聲稱那樣地「看到了曙光」，是什麼讓他在六年後改變了主意？答案應該是他 1900 年時沒看到了曙光吧？！所以庫恩認為普朗克不值得稱為發現量子力學之先驅。

無可否認地，當然也有不同意庫恩看法的科學家。事實上，普朗克也曾「確信」過量子理論標誌著物理學史新篇章的開始；例如他在 1911 年的一次演講中就自豪地宣稱「量子假設永遠不會從世界上消失」，有朝一日，這一理論注定會以新的光芒迅速地滲透到分子世界中。但那可能只是曇花一現，在他的內心裡可能還在懷疑著能量量化的真實性，否則他怎麼不支持愛因斯坦的光量子理論呢？儘管如此，諾貝爾獎委員會還是因他「發現能量量子」，於 1918 年頒發了物理獎給普朗克。

愛因斯坦是真正的「能量子不連續性的發現者」

如果普朗克在 1900 年沒有提出能量量子假說，那是誰先提出的？1877 年，波茲曼（Ludwig Boltzmann）雖然在其統計熱力學裡使用能量量化的概念來計算物理態的分佈，但那只是為了數學處理上的方便而已。事實上，當普朗克還一直在努力地想使他的量子解釋能容於古典力學時，愛因斯坦卻馬不停蹄地在開發量子力學，所以真正認識到量子理論本質的人應該是愛因斯坦——年輕的愛因斯坦顯然比普朗克看得更深。

1905 年，愛因斯坦已認識到量子不連續性是普朗克黑體輻射理論的重要組成部分：

比較維恩體系中的輻射與古典不相互作用之點粒子氣體的熵（entropy）後，愛因斯坦提出了光量子的假設，謂「就其熵的體積依賴性而言，如果單色輻射的行為與由許多獨立之 hν 能量子組成的介質相似，則值得研究光的產生和轉換規律是否意味著光本身就是個能量子（energy quanta）」。

基於這種「啟發式原理」，愛因斯坦提出光電效應：光量子（light quantum）將其全部能量提供給單個電子；謂用這一原理導出的方程式可以解釋連納德（Phillip Lenard, 1905 年諾貝爾物理獎得主）1902 年的觀察結果，即被光打出來的電子能量與光的強度無關。所以嚴格說來，愛因斯坦才是真正的「能量子不連續性的發現者」。17 年後，愛因斯坦終因「光量子」的主要貢獻，而獲得 1921 年諾貝爾物理獎（泛科學 07/28/2021）。

在古典統計熱力學裡，有一稱為「能量均分原理（equipartition principle）」謂：在達到熱平衡時，物理體系內的任何一個自由度均應具有 kT/2 熱能。依照這個原理，晶體因原子在晶格的振動，其熱能應該是每個原子具有 3kT（每個震動有兩個自由度、三個方向，故總共有六個自由度），所以晶體的比熱是每個原子 3k（Dulong-Petit 定律）。

這一古典理論所推測出來的結果在高溫時與實驗相符；但在低溫時，實驗發現晶體的比熱趨近於零。1907 年，愛因斯坦假設晶格具有單一的振動頻率 v，因為量化的關係，其能量只能有 nhv（n 為整數）值，然後透過馬克斯威－波茲曼統計分佈求得每個振動的平均能量，對溫度微分而得到低溫時趨近於零的晶體比熱！晶體的振動實際上當然比愛因斯坦的模型複雜多了；1912 年，迪拜（Peter Debye）做了改進得到符合（非金屬固體之）實驗的結果。愛因斯坦的此一比熱理論是推動量子理論成為物理學主流的一個重要旅程碑。 

第一次的索爾維會議

索爾維（Ernest Solvay, 1838-1922）是比利時化學工程師，發明了一種製造蘇打（碳酸氫鈉）的工藝而積累了大量財富，慷慨捐贈大學，並在布魯塞爾創立了索爾維醫學和社會學研究所（Solvay Institute）。索爾維的課外嗜好是物理，認為自己發現了一種關於重力如何影響「物質和能量構成」的理論。

雖然這是一個瘋狂的理論，但「錢多學問大」，他不接受否定的答案。當索爾維向柏林大學名化學家能斯特（Walther Nernst）詢問如何傳播他關於引力的想法時，能斯特看到了一個幫物理學發展的好機會。

他狡猾地向索爾維建議資助一個探討物理學最新發展的會議：索爾維可以在會議開始時向聚集在場的最優秀物理學家講授他的瘋狂理論，然後讓物理學家開始自由地進行自己的討論。

索爾維接受了能斯特的建議，於 1911 年 10 月下旬，邀請了來自歐洲各地的 18 位頂尖科學家，在布魯塞爾舉行了第一次會議。這就是物理界名聞遐邇的「索爾維會議（Solvay Conference）」，每隔三年舉行一次，雖然一直持續到今天，但已經不再那麼獨特和奢華了。

第一次索爾維會議由比利時理論物理學大師洛倫茲（Handrik Lorentz）主持，被認為是物理學界的一個轉折點[註]。那次會議的成員包括普朗克、居里夫人、盧瑟福（Ernest Rutherford ）、龐加萊（Henri Poincaré）、及愛因斯坦等人，主題是輻射理論和量子，探討了古典物理學和量子理論兩種方法的問題。

儘管愛因斯坦謂該次會議「沒有任何積極的結果」，但是可以看到歐洲最著名的科學家在量子革命中的不同態度。愛因斯坦顯然最清楚當時物理學基礎已經開始動搖之危機的深刻本質，因此雖發表了題為「比熱問題的現狀」的最後演講，但卻將主題置於量子問題上，引發了一系列－特別是來自洛倫茲、普朗克、龐加萊等人－的挑戰。愛因斯坦謂普朗克在會中「頑固地堅持一些毫無疑問是錯誤的先入之見」。

波思「發現」量子統計力學

在「量子統計的先鋒——波思」（科學月刊，1971 年 4 月號）一文裡，筆者提到了 1924 年 6 月 4 日，一位任教於東巴基斯坦的講師波思（Satyendra Bose）寄了一篇被英國名物理雜誌退稿、題為「普朗克定律及光量子的假設」的 1500 字論文給愛因斯坦，附函謂「如果你認為它值得發表，可否請您將它譯出，投稿到 Zeitschrift für Physik 。」。

愛因斯坦不但親自將該篇英文論文譯成德文，於七月初以波思的名義投稿至該雜誌，並於文後註曰：「依我看來，波思推導普朗克公式的方法為一重要里程碑。該法亦可用來推演理想氣體的量子論；不久我將發表其詳細結果。」。

在該論文中，波思做了一個誤打誤撞、連他自己本人都不知道、在整篇論文中隻字未提的重要及創新性假設：光量子是不可分辨的！在古典力學裡，物理學家認為銅板是可以分辨的，因此兩個銅板出現「一正及一反」的或然率是 2/4；但如果它們不能分辨呢？則出現「一正及一反」的或然率將變成 1/3。沒想到這一「錯誤」的假設後來竟成為打開量子統計力學的鑰匙！

如果我們說普朗克「發現」量子力學，我們不是也應該說波思「發現」量子統計力學嗎？可是波思沒有普朗克幸運，未受到諾貝爾物理獎會員們的青睞！他只自嘲地說：「我已得到我所應得的名聲了。」現在物理學家稱自旋為整數的基本粒子為波思子（boson），它們所需要服從的統計力學為「波思-愛因斯坦統計」（Bose–Einstein statistics）。

結論

普朗克與波思的發現印證了前者的名言：「科學發現和科學知識只有在沒有任何實際目的的情況下追求它的人才能獲得」。但兩人似乎都沒想到他們發現了新的東西，並未思考著別人沒有想到的，只是覺得那樣做可以正確地導出黑體輻射光譜分佈及普朗克定律而已。

是誰首先思考別人沒有想到的問題呢？如果說「發現就是看到別人都看到的東西，但思考別人沒有想到的東西」，那麼發現量子力學及量子統計力學的應該是愛因斯坦了－是他思考著別人沒有想到的東西，開闢了新物理領域。

讀者認為呢？

註解

另一影響物理學發展深遠的是 1927 年舉行的第五次索爾維會議。該會議也是由比利時理論物理學大師洛倫茲主持，主題是「電子和光子」，與會的科學家熱烈地討論了新興的量子理論基礎。出席的 29 位科學家中當然少不了愛因斯坦及普朗克，其中一半以上是或將要成為諾貝爾獎得主。

延伸閱讀

賴昭正：《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版）：裡面收集了：「太陽能與光電效應」(科學月刊 2011 年 12 月號）、「量子統計的先鋒——波思」（科學月刊，1971 年 4 月號）、「量子力學的開山祖師-普朗克」(科學月刊 1982 年 2 月號）。