反三角函数是反函数吗？

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考研数学-三角函数与反三角函数图像
1. 正弦函数 sin x，反正弦函数 arcsin x
2. 余弦函数 cos x，反余弦函数 arccos x
3. 反正弦函数 arcsin x，反余弦函数 arccos x
4. 正切函数 tan x，余切函数 cot x
5. 反正切函数 arctan x，反余切函数 arccot x
6. 余割函数 csc x
7. 正割函数 sec x
例：反正弦函数
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考研数学-三角函数与反三角函数图像

转载自:http://math001.com/inverse_trigonometric_functions/

在三角函数的前面加上 arc ，表示它们的反函数 f–1 (x)。即由一个三角函数值得出当时的角度。

1. 正弦函数 sin x，反正弦函数 arcsin x

y = sin x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = (π/2) + kπ 为对称轴
y = arcsin x， x∈[–1，1]， y∈[–π/2，π/2]

sin x = 0 ←→ arcsin x = 0
sin x = 1/2 ←→ arcsin x = π/6
sin x = √2/2 ←→ arcsin x = π/4
sin x = 1 ←→ arcsin x = π/2

2. 余弦函数 cos x，反余弦函数 arccos x

y = cos x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = kπ 为对称轴
y = arccos x， x∈[–1，1]， y∈[0，π]

cos x = 0 ←→ arccos x = π/2
cos x = 1/2 ←→ arccos x = π/3
cos x = √2/2 ←→ arccos x = π/4
cos x = 1 ←→ arccos x = 0

3. 反正弦函数 arcsin x，反余弦函数 arccos x

y = arcsin x 与 y = arccos x 自变量的取值范围都是 x∈[–1，1]
y = arcsin x 与 y = arccos x 的图像关于直线 y = π/4 对称，相交与点 (√2/2 ，π/4)

4. 正切函数 tan x，余切函数 cot x

y = tan x， x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈R，周期为π，当 x → ± (π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
y = cot x = 1 / tan x， x∈( 0，kπ )， y∈R，周期为π，当 x → kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
y = tan x 与 y = cot x 的图像关于 x = (π/4) + kπ/2 对称
在单个周期内（第一个），y = tan x 与 y = cot x 的图像相交与点（π/4 ，1）。当 x = (π/4) + kπ/2 时，y = tan x 与 y = cot x 函数的值都相等，等于 ±1

5. 反正切函数 arctan x，反余切函数 arccot x

y = arctan x 与 y = arccot x 自变量的取值范围都是 x∈R
y = arctan x 与 y = arccot x 的图像关于直线 y = π/4 对称，相交与点 (1 ，π/4)

tan x = 0 ←→ arctan x = 0
tan x = 1 ←→ arctan x = π/4
tan x = √3 ←→ arctan x = π/3

6. 余割函数 csc x

y = csc x = 1 / sin x，x∈(0，kπ )， y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，周期为π，当 x → kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞

7. 正割函数 sec x

y = sec x = 1 / cos x，x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，周期为π，当 x → (π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞

例：反正弦函数

我们已经学习了正弦函数y=sinx和它的图像（图1）。从图像可以看到，对于x在定义域R上的每一个值，y都在[-1,1]上有唯一的值和它对应。例如，对于x=π/6,有y=sin6/π=1/2和它对应。反过来，对于y在[-1,1]上的每一个值，x有无穷多个值和它对应。由此可见，对于y在[-1,1]上的每一个值，没有唯一确定的x值和它对应。我们说，函数y=sinx（x∈R）没有反函数。

图1

但是，我们可以看到，在正弦函数的单调区间[-π/2,π/2]上，对于x的每一个值，y=sinx在[-1,1]上有唯一的值和x对应；反过来，对于y在[-1,1]上的每一个值，x在[-π/2,π/2]上也有唯一的值和y对应。所以函数y=sinx(x∈[-π/2,π/2])有反函数。

函数y=sinx(x∈[-π/2,π/2])的反函数叫做反正弦函数，记作x=arc siny.

习惯上用字母x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数可以写成y=arc sinx，它的定义域是[-1,1]，它的值域是[-π/2,π/2].

这样，对于属于[-1,1]的每一个x值，arc sinx 就表示属于[-π/2,π/2]的唯一确定的一个值，它的正弦正好等于已知的x.也可以说，arc sinx表示属于[-π/2,π/2]的唯一确定的一个角（弧度数），这个角的正弦恰好等于x.例如，对于x=1/2,y=arc sin1/2就表示[-π/2,π/2]使siny=1/2的唯一确定的一个角，这个角是π/6，因为根据正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的单调性可以知道，在[-π/2,π/2]上，除了π/6以外，其他任何角的正弦都不等于1/2.

由此可以得到sin(arc sin1/2)=1/2.

一般地，根据反正弦函数的定义，可以得到sin（arc sinx）=x，其中x∈[-1,1]，arc sinx ∈[-π/2,π/2].

下面我们来研究反正弦函数的图像和性质。

根据互为反函数的图像的性质，容易知道，反正弦函数y=arc sinx的图像就是与正弦函数y=sinx 在[-π/2,π/2]上的一段图像关于直线y=x对称的图形（图2）。

图2

从图像上可以看出，反正弦函数y=arc sinx有以下性质：

（1）反正弦函数y=arc sinx 在区间[-1,1]上是增函数。

（2）反正弦函数y=arc sinx的图象关于原点对称，这说明它是奇函数。

也就是

arc sin(-x)=-arc sinx, x∈[-1,1].

反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数，都叫做反三角函数。

图3 反余弦函数

图4 反正切函数

图5 反余切函数

名称	函数式	定义域	值域
反正弦函数	y=arc sinx	[-1,1]	[-π/2,π/2]
反余弦函数	y=arc cosx	[-1,1]	[0，π]
反正切函数	y=arc tanx	R	（-π/2,π/2）
反余切函数	y=arc cotx	R	(0,π)

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