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等腰三角形是有两条边边长相等的三角形。这两条等边与底边所成的角度相等,而且交点位于底边中点的正上方。你可以用直尺和两支长度一样的铅笔来做试验。如果你试着把三角形向任意方向倾斜,铅笔笔尖就无法相交。等腰三角形这些特别的属性让你只需要几条信息,就能计算出其面积。
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1
复习平行四边形的面积计算。任何有两组平行边的四边形都是平行四边形,包括正方形和矩形。所有平行四边形都有一个简单的面积公式:面积等于底乘以高,即A = bh。[1]如果将平行四边形平放在水平面上,则底边是接触水平面的那条边。顾名思义,高则是离地面的高度,即底边到对边的距离。测量时,高应该与底边成90度直角。
- 对于正方形和矩形,高就等于垂直边的长度,因为这些边与地面成直角。
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2
比较三角形和平行四边形。这两种形状之间有一种简单的关系。沿对角线将平行四边形切成两半,我们就得到了两个相同的三角形。反之,如果有两个相同的三角形,你可以将它们组合到一起,得到一个平行四边形。这意味着任何三角形的面积都可以被写成A = ½bh,即对应的平行四边形面积的一半。
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3
找到等腰三角形的底边。现在你已经知道公式了,但在等腰三角形中,到底什么是“底”,什么是“高”呢?底比较好理解,直接用等腰三角形不相等的第三条边就可以了。
- 例如,如果等腰三角形的边长分别为5cm、5cm和6cm,则6cm那条边就是底边。
- 如果三角形的三条边边长都相等,即该三角形是等边三角形,那么你可以选任意一条边做底边。等边三角形是特殊的等腰三角形,但你可以用相同的方法来计算面积。[2]
-
4
在底边和对角顶点之间画一条线段。画的线段与底边应该成直角。线段的长度就是三角形的高,我们以“h”指代。算出“h”的值后,你就能求出面积。
- 在等腰三角形中,这条线段与底边的交点总是位于底边的中点。
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5
看看等腰三角形的半边。注意,是用等腰三角形的高将它分成两个相同的直角三角形。看其中一个,确定三条边:
- 一条直角边的边长等于底边的一半:。
- 另一条直角边是高“h”。
- 直角三角形的斜边是等腰三角形的腰。设它为“s”。
-
6
使用勾股定理。只要知道了两条直角边的的长度,你就能用勾股定理算出第三条边的长度:(边1)2 + (边2)2 = (斜边)2,将我们在此问题中使用的变量代入进去,得到.
- 你可能已经学过勾股定理,公式是。用“边”和“斜边”来代替a、b、c,可以避免与之前的三角形变量相混淆。
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7
求出“h”。记住,面积公式用要用到“b”和“h”,但你还不知道“h”值。将公式变形,求出“h”:
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8
将三角形的值代入进去,求出“h”。知道这个公式后,你可以将它用于任何边长已知的等腰三角形。只要将底边长度代入“b”,将腰的长度代入“s”,然后就能算出“h”的值。
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9
在面积公式中代入底和高。知道这些值后,你就可以使用本节开头的公式了,即面积 = ½bh。将你已知的b和h值代入到本公式中,计算出答案。记得为你的答案加上平方单位。
- 这里仍然使用以上示例,边长为5-5-6的三角形底长为6 cm,高为4 cm。
- A = ½bh
A = ½(6cm)(4cm)
A = 12cm2。
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10
试着解答难度更高的例题。大部分等腰三角形的面积计算难度要高于以上示例。算出的高通常包含平方根,无法被简化为整数。如果出现这种情况,可以将高写成简化形式的平方根。这里有一个示例:
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1
从一条边和一个角开始。如果学过三角学,那么即使不知道等腰三角形某一条边的长度,你也可以算出它的面积。这里有一道例题,你只知道以下条件:[3]
- 腰的长度“s”为10cm。
- 两条腰所成的夹角θ等于120度。
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2
将等腰三角形分成两个直角三角形。以两条腰的交点为起点,向底边画一条垂直于底边的线段。这样,你就得到了两个相同的直角三角形。
- 这条线段将角θ分成了两个相等的角。两个三角形各有一个角的角度等于½θ,而在本例中,(½)(120) = 60度。
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3
使用三角学,算出“h”的值。由于得到的是直角三角形,所以你可以使用正弦、余弦和正切三角函数。本例题中,你知道斜边,想算出与已知角的邻边“h”的长度值。由于余弦 = 邻边/斜边,我们可以利用已知角求出“h”:
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
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4
算出剩下那条边的长度。在这个直角三角形中,还有一条边的长度是我们未知的,你可以将它设为“x”。因为正弦 = 对边/斜边,所以:
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
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5
将x与等腰三角形的底边关联起来。现在你可以将关注的对象“扩大到”整个等腰三角形。由于底边“b”被分为两段,每段长度均为“x”,所以“b”等于2倍的“x”。
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6
将你算出的“h”值和“b”值代入到基础的面积公式。知道底边和高的长度后,你可以使用标准公式A = ½bh:
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7
将这种计算方法变成通用公式。知道解答过程后,你可以使用通用公式,而不必每次都完成整个推导和计算过程。如果你不使用任何具体值,重复这一计算过程,并应用三角函数的特性,最终可以得到结果:[4]
- s是腰的长度。
- θ是两条腰的夹角。
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小提示
- 如果你面对的是有两条等边和一个直角的等腰直角三角形,面积计算会简单得多。你可以用一条直角边做底,另一条直角边做高。这时,公式A = ½ b * h可以简化为½s2,其中s是直角边的长度。
- 平方根有两个解,一个正数,一个负数。在几何问题中,你可以忽略掉负数解,因为没有任何三角形会有“负数高”。
- 某些三角学问题提供的初始条件可能有所不同,比如告诉你等腰三角形底边的长度和一个角的角度。基本解法是一样的,将等腰三角形分成直角三角形,然后利用三角函数解出高度值。
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